逻辑证明与真理标准[9]
两年前开始的真理标准问题的讨论，对于破除反马克思主义的现代迷信、冲决思想网罗，起到了振聋发聩的作用。但是，对“实践是检验真理的唯一标准”这个命题的理解，在学术界和广大群众中至今还并不一致，甚至有不小的分歧。例如，有的同志认为经实践检验过的正确理论也可以是检验真理的标准；有的同志认为逻辑证明也可以是检验真理的标准；有的同志认为检验真理的标准不是实践而是客观对象。总之，在这些同志看来，“唯一”标准的说法至少是绝对化、简单化了，不能成立。我个人是同意“唯一”论的。本文只先就“逻辑标准”问题谈一点粗浅的看法。
为了避免“假争论”，需要先明确语词的含义和论题的意义。第一，这里说的“真理”（truth）是指认识与客观对象的符合，“检验真理的标准”（准确些说，是检验认识的真理性的标准）是指判定认识与客观对象是否符合的标准。第二，这里说的“逻辑”是专指传统的和现代的演绎逻辑。因为归纳推理的结论并没有必然性，辩证逻辑则还没有形成一套严密的推理规则，它们之不能作为检验真理的标准现在并无争议，没有特别讨论的必要。第三，这里不是一般地讨论逻辑在认识过程中的作用问题，而是仅仅涉及逻辑的证明作用问题（后者比前者的范围狭窄得多）。一句话，我们要讨论的问题是：作为演绎推理的逻辑证明是不是判定认识与对象符合的标准？
一、逻辑不能确定论据的真假
除了非理性主义者，谁也不会公然否认逻辑有证明的作用。在现代逻辑的研究和应用取得了巨大成就的今天，否认逻辑的证明作用更是荒谬的。问题不在于逻辑有没有证明的作用，而在于它证明的是什么，能不能由它的证明作用得出它是检验真理的标准的结论。而这就需要对逻辑证明的实质和功能作一点考察。
逻辑证明是以确定论题的真实性为目的的演绎推理（反驳是证明的特殊情况，不另讨论）。无论多么复杂冗长的证明，总是由论据、推论和论题组成的演绎推理。论题是待证的命题，是推理的结论，这里无须分析。论据是推理的前提，论证则是按照逻辑规则（即普遍有效的推理形式）由前提过渡到结论的思维活动，这两者是需要分析的。
先看论据。论据可以是一个命题，也可以是若干命题。要使演绎推理成为逻辑证明（逻辑证明是演绎推理，但并非一切演绎推理都是逻辑证明），第一个必要条件就是论据全部真实，即作为论据的每一命题都与它所反映的对象符合。如果论据全部假、部分假或真假不定，即使推理形式是普遍有效的，结论在事实上也是真的，仍然不成其为逻辑证明。
那么，论据的真实性能不能由逻辑证明来确定呢？回答是否定的。
作为论据的命题不外以下几类：
1。陈述经验事实的命题（亦称经验命题或知觉命题）
这类命题反映的是可感知的事实，其真假取决于命题的陈述与事实是否符合。要判定这一点，逻辑显然无能为力。符合逻辑和符合事实并不是一回事。说“猫是吃老鼠的”固然符合逻辑，说“老鼠是吃猫的”也决不违反逻辑。我们设想一个逻辑推理能力很强、但对地球上的事物（包括猫、鼠的生活习性）毫无所知的“外星人”忽然来到我们这里，我们请他用逻辑的方法来判定这两个命题的真假，事情会怎样呢？他一定会束手无策。因为在他看来，这两个命题在形式上是完全一样的，他怎么能根据“逻辑”来判定孰真孰假？这类命题的真假是只有实践（包括观察和调查）才能作出“裁决”的。
或曰不然。有些命题也是陈述经验事实的，我们却可以从逻辑上判定其真假。例如，“这个老年人是人”必真，“这个等边三角形是六边形”必假，又当作何解释？其实，这样的命题并不是陈述经验事实的命题。前者是分析命题，谓词包含在主词之中，相当于说“A集的某一元素属于A集”，其逻辑形式是永真；后者是矛盾命题，谓词与主词互相排斥，相当于说“A集的某一元素属于A集的补集”，其逻辑形式是永假。这两种命题的真假与它们的经验内容无关，而只取决于它们的逻辑形式，当然可以依据逻辑公理来判定。就是说，只要肯定了公理，它们的真假就是必然的了，无须援引具体经验。至于公理的真实性靠什么来证明，正是下面要讨论的。
2。公理
像逻辑和数学这样的纯演绎科学是以公理为原始论据的，这类科学是公理系统。公理的真实性能不能靠逻辑来证明？不能。有人想去证明欧氏几何第五公设，结果只是徒劳。这是为什么呢？因为任何演绎系统的基本要求就是自洽，也就是不允许自相矛盾，而要不自相矛盾，就会至少有一个命题在本系统中得不到证明（也得不到否证）。假如我们在某一演绎系统中用A0证明A1，用A1证明A2，用A2证明A3……一直到用An-1证明An，那么用什么来证明A0呢？用从A0到An的任何命题来证明，都陷入了循环证明，等于不证明。可见像A0这样的命题在本系统中是不可能被证明的，它只能作为不证自明的公理。
那么，在本系统中得不到证明的命题不能在别的系统中得到证明吗？那要看两个系统的关系怎样。（1）如果A系统与B系统的命题不相干，显然不能证明。（2）如果A系统与B系统的命题互相矛盾，也不能证明。例如，“平行线不相交”在欧氏几何里是真命题，在非欧几何里却是假命题；“全体大于部分”在有穷集合里是真命题，在无穷集合里却是假命题；这样矛盾的系统当然不可能互相证明。（3）如果A系统与B系统不相矛盾并且有某种关系，那么在A系统中得不到证明的命题在B系统中是可能得到证明的，但B系统又会有命题在本系统中得不到证明，又得求助于别的系统。这样一直推下去，公理的证明问题还是不能在逻辑的范围内解决。
这并不是说公理是不反映客观实际的人为约定和任意假设，无所谓真实性，而是说它们的真实性不能由逻辑来判定。欧氏几何和非欧几何的公理当然都是一定的现实空间的特性的正确反映，有客观的真实性，是真理，但逻辑是无法证明这一点的。只有当由这些公理推导出来的结论被应用于特定领域的实践并得到了预期的结果时，公理的真实性才得到了证实。
3。定理
在纯演绎科学中，定理是以公理为原始论据推论出来的，定理的真实性靠公理的真实性来保证。既然公理的真实性不能由逻辑证明来检验，定理的真实性当然也不能由逻辑证明来检验。定理是否与客观现实符合，与什么客观现实符合，只有实践才能判定。
至于在经验科学中，定理（或原理）一般说来并不是从公理演绎出来的，而是从经验事实中概括出来的普遍命题。这些经验事实是从实践中得到的（通过观察、实验、调查等），因而普遍命题是否真实也只有由实践来确定。这是显然的。不错，现代的经验科学有许多部门采用的已经不是早期实验科学所采用的纯粹经验的方法，“而是研究人员受到经验数据的启发而建立起一个思想体系；一般来说，这个思想体系在逻辑上是用少数的基本假定，即所谓公理，建立起来的”[10]。例如，爱因斯坦的狭义相对论就是从两个被视为公理的命题出发的（光在真空中速度不变，与光源的运动无关；在相对做匀速而无转动的直线运动的诸坐标系中一切物理定律等效）。但是，第一，这些公理之所以能被提出，首先还是由于研究人员“受到经验数据的启发”，并不是离开经验凭空构想出来的。第二，这些公理的真实性要在实践中受到检验。例如，相对论的第一个公理就是在迈克尔逊—莫雷的著名实验中得到证实的。第三，这样建立起来的理论体系（它由一系列相互联系的命题组成）究竟是否符合实际，是否真实，逻辑并不能回答，只有实践才能回答。例如，广义相对论是得到了水星近日点的移动、光线在引力场中的偏转、光谱线的红向移动的观测证实的。在得到证实以前，爱因斯坦本人也并不认为他的理论就一定符合实际。他在1916年还写道：“无论如何在未来的几年中将会得出一个确定的结论。如果引力势导致的光谱线红向移动并不存在，那么广义相对论就不能成立。另一方面，如果光谱线的位移确实是引力势引起的，那么对于此种位移的研究将会为我们提供关于天体的质量的重要情报。”[11]亚当斯（Adams）通过对天狼星的伴星的观测证实了光谱线红移，这才使广义相对论的真实性得到了一个实践上的验证。爱因斯坦完全理解，“理论有存在的必要的理由乃在于它能把大量的个别观察联系起来，而理论的‘真实性’也正在于此”[12]。至于在化学、生物学、人类学等经验自然科学和各门社会科学中的定理和原理的真实性只有实践才能判定，就无须一一说到了。
4。定义
以定义为论据是常见的，定义有语词定义和实质定义的区别。
语词定义是对语言符号的意义的规定，被定义的东西不是客观对象而是语词。它无非是说明我们用某一语词去指称某一对象，以便使人们了解我们的陈述，相当于给一个对象取名字。这种定义是约定的，无所谓真假，至多不过要求下定义的时候遵守日常用语或科学用语的习惯而已。我们把“圆”定义为与平面上一定点等距离的点的轨迹，就等于给具有如此这般特性的几何图形命名为“圆”，这就无所谓与客观对象是否符合，无所谓真假。如果有人不愿遵守这个约定，偏要把“圆”定义为别的什么，那么，只要他交代清楚，也不能说他的定义是假的；至于他在此后的议论中是否首尾一贯，不自相矛盾，那是另一个问题，与定义的真假无关。语词定义既然无所谓真假，当然也就无所谓以什么为标准来检验其真假的问题。
实质定义与此不同，被定义的东西是客观对象。实质定义是对事物的本质或本质属性的断定和陈述，是有真假之分的。与事物的本质或本质属性相符合的断定和陈述是真的，反之就是假的。那么，逻辑能否判定一个实质定义与它所反映的对象是否符合呢？不能，道理同前述的公理或定理的真假不能由逻辑判定一样。例如，“国家是全民利益的代表”和“国家是阶级矛盾不可调和的产物”这两个定义哪一个符合国家这个客观事物的本质，从逻辑上是不能判定的，因为两者都符合逻辑；只有阶级社会中的实践才能回答这个问题。
可见，无论哪一类论据的真实性都不能由逻辑证明来确定。逻辑证明的第一个必要条件，它自身就不能保证，它怎么能成为检验真理的标准？