第十二章学科知识类型与学习方式（下）
第一节数学学科知识类型与学习方式
一、数学知识的分类
现代认知派心理学家将知识分为陈述性知识与程序性知识两大类。所谓陈述性知识，是指关于“是什么”的知识，它的基本形式是命题，许多命题相互联系形成的命题集合成为命题网络。所谓程序性知识，是指完成某项任务的一系列操作程序，我国学者莫雷认为该分类的出发点为不同形式的知识在人的大脑中的形成、表征、储存、激活的性质和特点，以及知识形式的心理特征，而忽视了知识内容的心理特征。为此，他提出对知识分类的“陈述—程序”与“联结—运算”两维分类模式，并将知识分为以下类型（见表12-1）。
表12-1知识二维分类模式[1]
根据数学知识内容的特征，有学者将数学知识的分为陈述性知识与程序性知识，而程序性知识又包括智慧技能与认知策略[2]。从教学内容角度，我们将数学知识的形态进行如下分类：
（一）数学概念
数学概念可分为日常概念与科学概念。日常概念也称自发概念，即日常生活中通过辨别学习、积累经验而成的概念，它一般产生于日常生活与无意识活动。科学概念则是指定义明确、有一定逻辑意义和体系的概念。日常概念与科学概念在教学中常常是相辅相成的，有些科学概念可以而且也必须借助于日常概念来学习，比如，集合中的直线、平面等概念。数学概念按其反映事物属性的类别可分为：反映数学基本元素的概念，如自然数、三角形等；反映数学对象间关系的概念，如全等、平行、包含等，它们是对两个或两个以上数学对象之间联系或关系的表达；反映对象特性的概念，如周期性、单调性等，它们表征着数学元素所具有的某种性质。
（二）数学命题
数学命题是指表示概念具有某性质或概念之间具有某种关系的判断。在数学课程中，数学命题分为公理与定理。公理是根据实践的结果或逻辑体系的需要而不需证明就确认其正确性的原始命题。比如，欧氏几何中的平行公理。定理是在原始命题基础上经过逻辑推理得到确认的真实性命题。普通高中数学课程选择其中的一些反映数学基本事实且具有一定认识功能、逻辑功能、使用功能的命题，构成教材中的公式或定理。如立体几何中的直线与平面平行的判定定理、性质定理，解三角形中的正弦定理、余弦定理，数列中的等差数列通项公式、求和公式，三角函数中的诱导公式、两角和与差的正余弦公式等。
（三）数学思想方法
数学思想方法堪称数学的灵魂与精髓，中学数学内容处处闪耀着数学思想方法的光辉。数学思想是数学的基本观点和精髓，是对数学知识、方法的根本认识，它是一种内隐的数学知识。而数学方法则是外显的，它是数学活动中处理问题的具体途径、方式与手段，是数学思想的具体应用。数学思想融会在数学方法中，数学方法又以数学思想为指导，有时还可升华为数学思想，两者的区分是相对的。比如，消元化简是数学中常用的思想方法，解三角形问题中同一个三角形中有三条边、三个角，但是这些边角之间可以借助正余弦定理进行相互转化，从而达到消元减量、化简结构。再如，函数思想是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，学生可以通过建立函数关系、构造函数，运用函数的图象与性质去解决问题。尤其在遇到最值问题时，函数思想尤为重要。方程思想就是分析问题中出现的变量间的等量关系，建立方程或方程组从而解决问题。另外，数形结合思想也贯穿于整个高中数学，如平面向量知识中常会用到。由于平面向量几何表示以及三角形、平行四边形的运算法则让向量具备形的特征。而平面向量的坐标表示又让向量具备数的特征，在平面向量问题解决过程中，要充分发掘问题的图形含义与坐标特征，数形结合，在知识的学习、问题的解决过程中渗透数形结合的思想。
（四）数学史知识
数学史是指数学的发展史、创造史、演变史，同时也是人类的认识史、发明史、创造史。数学史中蕴涵着丰富的内容、思想方法等财富可供后人借鉴。我国数学教育已经意识到这一点，在高中数学课程中，数学史已被列为选修课。数学史这颗夜明珠上的灰尘正逐渐被拭去，开始闪耀它璀璨的光芒，成为数学知识中的一个闪亮部分。普通高中课程标准实验教科书的必修教材（以下简称教材）[3]中有许多关于数学史阅读的素材。如教材必修2中三视图部分“艺术家的透视法·年希尧的《视学》”、常见几何体的表面积与体积部分的“祖暅原理”、平面解析几何初步部分的“解析几何的产生”、教材必修3算法案例部分的“孙子剩余定理”、“辗转相除法”，教材必修4中正切、余切等三角函数的由来等。
（五）数学元认知知识
元认知即以认知过程与结果为对象的知识及调节认知过程的认知活动。数学元认知将正在进行的认知活动作为意识对象，不断地对其进行积极、自觉的监视、控制和调节。数学学习活动不仅是对所学数学材料的感知、理解的过程，同时也是一个对感知进行监控的过程。因此，学生对自己的数学学习过程成为数学知识的一个有机组成部分。数学学习的元认知可以提高学生数学学习的计划性，增进对所学内容的理解以及对多种途径的选择，加深思维严密性以及对数学语言、符号及具体数学材料的理解，提升数学的综合素质。
笔者在教学过程中经常发现一些学生由于元认知不足导致数学学习困难的个例。如有些学生对自身的知识结构与能力结构没有清晰、准确的认识，他们当中一部分过低估计自身数学学习能力，经常认为自己“天生学不好数学”（学生语），从而进入越不学越差、越差越不学的恶性循环。他们当中也有一部分认为自己“聪明，脑袋灵活”（学生语），因此在学习过程中粗枝大叶、不求甚解，从而在学习上得不到提升。还有一部分学生对于自己数学知识习得、数学问题解决过程没有反思的习惯，典型表现为同样或类似的错误重复发生等。总之，学生在数学知识或者数学学习能力的元认知上的不足与数学学习的状况有着十分密切的联系。
二、数学学习方式的选择
不同类型的数学知识有着各自的特点，这些特点制约了数学学习方式的选择。
（一）数学概念的学习方式
数学概念的学习既是对数学概念本身的理解，同时也是对数学概念形成过程的把握。数学概念是一个具有层次结构的系统。每个概念都是数学某结构中的具体元素，概念之间相互关联，形成了一个个层次结构。比如，“四边形—平行四边形—矩形—正方形”。数学概念的学习方式主要有：
1。原型启发，概念形成
一般来说，学生对于数学概念的获得通常首先来源于感性认识，即来源于学生观察自己所熟悉的日常生活与生产实际中的现实模型及其抽象。概念中的一些原始概念，学生只能通过实例来理解其内涵，比如，平面几何中的点、线、面，学生只需观察桌子边沿、桌面等实物并在头脑中进行抽象就可形成这些概念。因此，数学概念的获得不仅需要理性的分析，也需要具体数学事例或生活事例的说明。如函数的奇偶性反映的是函数图象的对称特征，可以同列举蝴蝶、花朵、某些容器的设计来提供对称的现实原型。
以幂函数的概念为例，教学实录如下：
【案例1】
T：请同学们回答下列问题
（PPT展示）1。若正方形边长为a，则面积S关于a的函数关系式为______
2。若正方形边长为a，体积为V，则体积V关于边长a的函数关系式为______
3。若一个数总是另一个数的倒数，则关于的函数关系式为______
S1：S=a2；
S2：V=a3；
T：很好，不过我们习惯把自变量用表达，因变量用表示，那么这几个函数有什么共同的地方。